Hasil Kali Silang Dua Vektor dalam Ruang

Hasil Kali Silang

Banyak penerapan dalam fisika, teknik, dan geometri yang menuntut kita untuk menemukan suatu vektor dalam ruang yang ortogonal terhadap dua vektor. Pada pembahasan ini, kita akan mempelajari operasi hasil kali yang akan menghasilkan suatu vektor. Operasi tersebut dinamakan hasil kali silang, dan operasi ini akan lebih mudah didefinisikan dan dihitung jika kita menggunakan bentuk vektor satuan baku. Karena hasil kali silang menghasilkan suatu vektor, operasi ini juga sering disebut sebagai hasil kali vektor.

---

Definisi Hasil Kali Silang Dua Vektor dalam Ruang

Misalkan u = u1i + u2j + u3k dan v = v1i + v2j + v3k adalah vektor-vektor dalam ruang. Hasil kali silang u dan v adalah vektor

---

Sangat penting untuk mengingat bahwa definisi ini hanya berlaku pada vektor-vektor tiga dimensi. Hasil kali silang tidak didefinisikan untuk vektor-vektor dua dimensi.

Cara yang mudah untuk menghitung u × v adalah menggunakan bentuk determinandengan ekspansi kofaktor seperti yang ditunjukkan di bawah. (Bentuk determinan 3 × 3 ini digunakan untuk membantu mengingat rumus hasil kali silang—akan tetapi secara teknis bentuk tersebut bukanlah determinan karena tidak semua elemen matriks tersebut adalah bilangan real.)

Ingat tanda negatif di depan komponen-j. Masing-masing determinan 2 × 2 dapat dihitung dengan menggunakan pola diagonal.

Berikut ini beberapa contoh penghitungan determinan 2 × 2.

dan

Contoh 1: Menentukan Hasil Kali Silang

Untuk u = i – 2j + k dan v = 3i + j – 2k, tentukan hasil kali silang untuk masing-masing pasangan vektor berikut.

1. u × v
2. v × u
3. v × v

Pembahasan

1. Hasil kali silang antara vektor-vektor u dan v dapat dilakukan seperti berikut.
   
   Sehingga kita mendapatkan u × v = 3i + 5j + 7k.
2. Hasil v × u dapat ditentukan seperti berikut.
   
   Sehingga v × u = –3i – 5j – 7k.
3. Perhitungan hasil kali silang v dan v dapat ditunjukkan sebagai berikut.
   

Jika kita memperhatikan apa yang kita peroleh pada Contoh 1, kita mungkin sudah menduga sifat-sifat hasil kali silang. Sebagai contoh, u × v = –(v × u) dan v × v = 0. Sifat-sifat ini, dan beberapa yang lain, dirangkum dalam teorema selanjutnya.

Semoga Bermanfaat ;)