ANALISIS KOMBINATORIAL

1.        Prinsip Dasar Perhitungan/Prinsip Pencacahan

Misalkan bahwa dua percobaan akan dilakukan. Jika I menghasilkan salah satu dari m kemungkinan hasil, dan jika untuk setiap hasil dari I percobaan ada n kemungkinan hasil dan percobaan II menghasilkan m buah kemungkinan maka kedua percobaan tersebut menghasilkan m.n kemungkinan hasil percobaan.

Contoh :

1)      Sebuah regu beranggotakan 2 orang terdiri dari 1 laki-laki dan 1 perempuan, akan dipilih dari 5 laki-laki dan 8 perempuan. Berapa banyak kemungkinan regu yang dapat dibentuk?

2)      Jika suatu plat nomor kendaraan terdiri dari 2 huruf diikuti dengan 4 angka dan 2 huruf , maka berapa banyak plat nomor kendaraan yang dapat dibuat?

Jawab:

1)        L x P = 5 x 8 = 40 regu

2)        (26 x 26) x (10 x 10 x 10 x 10) x (26 x 26) = 26⁴ x 10⁴

2.        Permutasi

Permutasi merupakan suatu susunan objek yang urutannya diperhatikan.

Contoh:

1)      Diketahui ada 4 huruf A,B,C,D:

a.       Berapa banya susunan huruf yang berbeda dapat dibentuk?

b.      Berapa banyak susunan 2 huruf yang berbeda dapat dibentuk?

2)      Budi memiliki 10 buku yang terdiri dari 6 buku agama dan 4 buku sains. Buku-buku tersebut akan disusun dalam sebuah rak.

a.       Berapa banyak susunan buku yang mungkin?

b.      Bila masing-masing buku disusun secara berkelompok, ada berapa banyak susunan yang mungkin?

c.       Bagaimana (b) jika letak kelompok dibedakan?

Jawab:

1)       a.  n, (n-1), (n-2),  … , 3, 2, 1 = n!

            4 x 3 x 2 x 1 = 24

       b.  4 x 3 = 12

2)      a. 10! = 10 x 9 x … x 1

      b. 6! x 4!

      c. 6! x 4! x 2!

Latihan!

Buatlah soal sendiri dan beri jawaban, 1 soal prinsip pencacahan, dan 1 soal permutasi!

3.        Kombinasi

Kombinasi merupakan susunan objek-objek yang urutannya tidak diperhatikan.

Banyaknya grup r benda yang berbeda yang dapat dibentuk dari sejumlah n benda, bila urutannya tidak diperhatikan, didefinisikan dengan :

Percobaan yang dilakukan 1 kali disebut percobaan Bernoulli

Percobaan yang dilakukan >1 kali disebut percobaan Binomial

Teorema Binomial

Nilai (n,r) merupakan koefisien binom yaitu:

Keterangan:

x= kemungkinan berhasil

y = Kemungkinan gagal

contoh:

1)        Diketahui ada 4 huruf A,B,C,D. berapa banyak grup yang tediri atas 2 huruf dapat dibentuk dengan huruf tersebut?

2)        Dari 5 mahasiswa dan 7 mahasiswi, berapa banyak grup yang dapat dibentuk yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi?

penyelesaian:

4.             Koefisien Multinom

Jika n₁ + n₂ + n₃ + … + n_r = n, maka didefinisikan:

Jadi,  menyatakan banyaknya cara membagi n benda yang berbeda menjadi r grup yang berbeda berurutan.

Teorema Multinom

Contoh:

1)      Berapa banyak huruf yang dapat dibentuk dari kata ADA

2)      Terdapat 10 mahasiswa yang akan dibagi menjadi 2 tim, masing-masing beranggotakan 5 orang. Tim I akan mengikuti kompetisi A dan tim II akan mengikuti kompetisi B. Ada bera cara pembagian yang mungkin dilakukan?

Jawab :

#nakiitanaka : “Semoga bermanfaat ^o^”