ANALISIS KOMBINATORIAL

1. Prinsip Dasar Perhitungan/Prinsip Pencacahan

Misalkan bahwa dua percobaan akan dilakukan. Jika I menghasilkan salah satu dari m kemungkinan hasil, dan jika untuk setiap hasil dari I percobaan ada n kemungkinan hasil dan percobaan II menghasilkan m buah kemungkinan maka kedua percobaan tersebut menghasilkan m.n kemungkinan hasil percobaan.

Contoh :

1) Sebuah regu beranggotakan 2 orang terdiri dari 1 laki-laki dan 1 perempuan, akan dipilih dari 5 laki-laki dan 8 perempuan. Berapa banyak kemungkinan regu yang dapat dibentuk?

2) Jika suatu plat nomor kendaraan terdiri dari 2 huruf diikuti dengan 4 angka dan 2 huruf , maka berapa banyak plat nomor kendaraan yang dapat dibuat?

Jawab:

1) L x P = 5 x 8 = 40 regu

2) (26 x 26) x (10 x 10 x 10 x 10) x (26 x 26) = 26⁴ x 10⁴

2. Permutasi

Permutasi merupakan suatu susunan objek yang urutannya diperhatikan.

Contoh:

1) Diketahui ada 4 huruf A,B,C,D:

a. Berapa banya susunan huruf yang berbeda dapat dibentuk?

b. Berapa banyak susunan 2 huruf yang berbeda dapat dibentuk?

2) Budi memiliki 10 buku yang terdiri dari 6 buku agama dan 4 buku sains. Buku-buku tersebut akan disusun dalam sebuah rak.

a. Berapa banyak susunan buku yang mungkin?

b. Bila masing-masing buku disusun secara berkelompok, ada berapa banyak susunan yang mungkin?

c. Bagaimana (b) jika letak kelompok dibedakan?

Jawab:

1) a. n, (n-1), (n-2), … , 3, 2, 1 = n!

4 x 3 x 2 x 1 = 24

b. 4 x 3 = 12

2) a. 10! = 10 x 9 x … x 1

b. 6! x 4!

c. 6! x 4! x 2!

Latihan!

Buatlah soal sendiri dan beri jawaban, 1 soal prinsip pencacahan, dan 1 soal permutasi!

3. Kombinasi

Kombinasi merupakan susunan objek-objek yang urutannya tidak diperhatikan.

Banyaknya grup r benda yang berbeda yang dapat dibentuk dari sejumlah n benda, bila urutannya tidak diperhatikan, didefinisikan dengan :

Percobaan yang dilakukan 1 kali disebut percobaan Bernoulli

Percobaan yang dilakukan >1 kali disebut percobaan Binomial

Teorema Binomial

Nilai (n,r) merupakan koefisien binom yaitu:

Keterangan:

x= kemungkinan berhasil

y = Kemungkinan gagal

contoh:

1) Diketahui ada 4 huruf A,B,C,D. berapa banyak grup yang tediri atas 2 huruf dapat dibentuk dengan huruf tersebut?

2) Dari 5 mahasiswa dan 7 mahasiswi, berapa banyak grup yang dapat dibentuk yang terdiri dari 2 mahasiswa dan 3 mahasiswi?

penyelesaian:

4. Koefisien Multinom

Jika n₁+ n₂+ n₃+ … + n_r= n, maka didefinisikan:

Jadi, menyatakan banyaknya cara membagi n benda yang berbeda menjadi r grup yang berbeda berurutan.

Teorema Multinom

Contoh:

1) Berapa banyak huruf yang dapat dibentuk dari kata ADA

2) Terdapat 10 mahasiswa yang akan dibagi menjadi 2 tim, masing-masing beranggotakan 5 orang. Tim I akan mengikuti kompetisi A dan tim II akan mengikuti kompetisi B. Ada bera cara pembagian yang mungkin dilakukan?

Jawab :